1月27日


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※編集お願いします。
スキャナー持っていないのでノート参照のところはあとからあげることに。


2章 時系列解析要綱


2-1 時系列に現れる確率過程と用語の定義

Y_t を確率過程とする.これは時間と共に変化する確率変数である.例として,株価,為替,ブラウン運動などがあげられる.(→詳しくは第3章でブラウン運動を扱います) 連続的な場合も離散的な場合もあるが,ここでは離散的なものを扱いt=0,±1,±2・・・とする.

  • Y_tが定常であるという定義(P17)

(1) Y_t の期待値が定数
(2) Y_tY_{t-h} の共分散は h のみに依存する関数となる.

※(2)Cov(Y_t,Y_t)=Var(Y_t)=Const

  • 時差hの標本自己共分散 {\hat \gamma} _h=\frac{\sum_{t=h+1}^n (y_t-{\bar y})(y_{t-h}-{\bat y})}{n}

  • 時差hの標本自己相関 \rho_h=\frac{{\hat \gamma}_h}{{\hat \gamma}_0}


  • 定常過程の例

例:定常過程の例として以下のモデルが考えられる.

Y_t=\sum_{i=0}^{\infty} a_iX_{t-i}

条件1より線形性を使うと E(Y_t)=Const となる。(※例えば株価の期待値が無限ならその株を買わない人はいない等の例を考えると有限と仮定するのが妥当である.) また条件2より分散の公式などを使うと Y_t は定常であることがわかる。


2-2 p次の自己回帰モデル



命題2・1自己回帰モデルAR(p)の特性方程式

\phi (x)=1-\sum_{j=1}^p \phi_jx^j=0

の解の絶対値が全て1より大きいとき,AR(p)は定常性を持つ.


  • 方針
まず特性方程式の両辺を x^p(\neq 0) で割り t=\frac{1}{x} と置換すると,

  t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0 ・・・(**)

となる.これの解が全て |t|<1 で解を持つときAR(p)の定常性を示したい.



まず簡単のため p=1 のときを考える.(→P18の10~12行目) このモデルは以下の通り.

Y_t=\phi_0+\phi_1Y_{t-1}+\epsilon_t・・・①

ここで \mu

\mu=\phi_0+\phi_1\mu・・・②

の解とする.(この \mu が t によらず E(Y_t) に等しい(定常性をもつ)ことを示したい.)

①-②より,Y_{i+1}-\mu=\phi_1(Y_i-\mu)+\epsilon_{i+1} の関係式をつかって代入を繰り返せば,

E(Y_t-\mu )=E(\phi_1^t (Y_0-\mu))+E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})

が得られる.ここで右辺の第一項と第二項に着目すると,

E(\phi_1^t (Y_0-\mu))=\lim_{n\rightarrow \infty}E(\phi_1^{t+n} (Y_{-n}-\mu))=0\ (|\phi_1|<1)・・・③ 
(tに依存せず0に収束することを示したいので,nを新たに設定してその極限を考える)

E(\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i\epsilon_{t-i})=\sum_{i=0}^{t-1}\phi^i E(\epsilon_{t-i})=0 (E(\epsilon_{t-i})=0)

となる.従って, 

E(Y_t-\mu)=0 \Leftrightarrow E(Y_t)=\mu

が示され,

|\phi_1|< 1 ⇒「定常性を持つ」

が示された.


また③の議論より,

|\phi_1|\geq 1 ⇒「発散するため定常性をもたない」、

が示され,この対偶をとれば,

「定常性を持つ」⇒ |\phi_1|< 1

が示される. つまり

「定常性を持つ」⇔ |\phi_1|< 1

が示された.



  • pが2以上の場合の議論

pが2以上の場合はまず

\vec{Y}_t=A\vec{Y}_{t-1}+\vec{\epsilon}_t\ \ \ (\vec{Y}_t=(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_p)^T,\vec{\epsilon}_t=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots ,\epsilon_p)^T) (A:p次正方行列)

と変形する.Aが重複を含めてp個の固有値をもつときジョルダン標準系(上三角)に変換可能で,

\lim_{n\rightarrow \infty} A^n=O ⇔ 「Aの全ての固有値の大きさが1より小さい」

である.一般にAの固有方程式が

t^p-\sum_{j=1}^{p}\phi_jt^{p-j}=0\ \ \ \ \ \ t=\frac{1}{x}

と表わせることから,

「AR(p)が定常性をもつ」⇔ 「特性方程式の解が1より大きい」 (固有値が全て1より小さい)

が示せる.

p=2だと二次方程式の解の配置問題
p=3だと三次方程式…
p=2の場合は19ページに書いてあります。その条件を書くと三角形になります。
この三角形は暗記しておくとテストに役立つそう
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
上図
y=-\frac{1}{4}x^2, y=x+1, y=-x+1, y=-1
3点は(±2,-1)(0,1)
実数解をもつか虚数解をもつかで場合分けすればよい


※なおAR(1)モデルはラグ作用素Lと微分作用素Dを対応させて考えると,

\frac{dy}{dt}=ay+b(t) (定数変化法)

のアナロジーと考えられる.この解は

y=p(t)+q(t)

ただし, p(t)\frac{dy}{dt}=ay の一般解とし,q(t) は特解とする.これは物理の空気抵抗ある落下モデルと類似している.また特性方程式の形も微分方程式のそれに類似していることが分かる.


ユールウォーカー方程式

P19を参照。
Y_tを決めるためにの\phi_1\phi_2を利用する。
\gamma^nを求める時は漸化式を作ればとけます

  • ラグ作用素
ラグ作用素というものがある。これを使えばよい。
ラグ作用素をLとする

LY_t=Y_{t-1} (微分演算子Dに対応していると考える)

L\vec{Y_t}=\vec{Y}_{t-1} (微分演算子Dに対応していると考える)

線形近似で安定解をもつのが固有値1以下である
すいません,ゼミで上記のことを言っていたのですが,微分方程式の平衡点まわりの線形近似で安定解を持つ条件は 「固有値の実部が負になる」 です.申し訳ありません.(小島)

ラグオペレータLとは時間を一つ前に戻す演算子のことである.

LX_t=X_{t-1}

特徴として,定数のように扱える.また普通の演算子では認められないこと(演算子の交換等)はできないが,このラグオペレータは自由に変換できる.

Y_t=2+\frac{5}{6}Y_{t-1}-\frac{1}{6}Y_{t-2}+\epsilon_{t} …(AR(2)) 線形和+誤差

これを解くと, \mu=6 が得られる. (ラグ作用素参照}

これに

E(Y_t)=2+\frac{5}{6}E(Y_{t-1})-\frac{1}{6}E(Y_{t-2})

を引くと

E(Y_t)= E(Y_{t-1})= E(Y_{t-2})=\mu

を利用して

Y_t-6=\frac{5}{6}(Y_{t-1}-6)-\frac{1}{6} (Y_{t-2}-6)+ \epsilon_t

となる。

三項間漸化式に相当するものを解きたい。

Y_{t-1}=LY_t
Y_{t-2}=L^2Y_{t} 

であることを利用し

あとはプリント参照


やる前はtをつかっているわけだがLをつかえば一番最後の式になる
よって最初からY_tの漸化式にしないで\epsilonだけでY_tを表せることがわかる。
※ただしこの計算は先程の三角形の中に入っているため成り立った。

反転可能性
:特性方程式の解の絶対値がすべて1より大きい
→細かいけどもアクチュアリーの過去問に出てた(条件として)
これは反転可能性を満たすとき特性方程式の解が1より小さいか大きいかみたいな感じ
で試験に出てました。
識別可能性
:特性方程式の解の絶対値が1以上

なにがちがう?
1より大きいと1以上でひっかける。注意してください。

識別可能性
期待値、自己共分散があたえられたときモデルを1つに特定できる
(前提:1以下がある)
MA(q)には定常性あり。(tによらない)


その他(数学受かった人からの情報)
三角形は何かとイメージしておくと役立つ。
AR(1) AR(2)もやるといいかも。
P19の下、\gamma_0の導出を覚えると良い。
できれば\gamma_1, \gamma_2も…  

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