2月10日


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3-1と3-2はほとんどノートにかいたのでノートを数日後にあっぷします
(スキャナー届いたらやります。)


3-3 マルチンゲール
マルチンゲールは「1回負けた場合、次の掛け金を2倍にする。」というギャンブルからはじまったものでした。
この戦略のギャンブルや株:http://traderlab.blog8.fc2.com/blog-entry-73.htmlでも。

マルチンゲールの意味は未来の期待値は0ということです。
大か小のどちらかが正しいゲームがあるとする。正しい方は確率1/2で選ばれる。(等確率)
今までは大が100回、小が0回であった。では101回目正しいのは大と小のどっち?
答えはどちらも1/2で期待値0。マルチンゲールの一種です。
後はランダムウォークなどを考えてみるといいと思います。
上のゲームとルールは同じような感じです。ランダムウォークはマルコフ過程でもあります。

詳しい定義については教科書参照。
途中で期待値の期待値をとっています。
これはP69の下から1行目~5行目の条件付き確率の公式をつかっています。
マルチンゲールではなくても成り立ちます。
英語ではtower propertyと名前が付いています。
簡単にいえば条件がm個とn個の時少ないほうのみ考えればよいということです。

X[t]=Y[1]+Y[2]+…Y[t]
Y[t]=1(確率1/2),-1(確率1/2)とすれば

E(X[t+1]|Y[t],Y[t-1]…Y[1])
=E(X[t]+Y[t+1]|Y[t],Y[t-1]…Y[1])
=X[t]+E[Y[t+1]]=X[t]

3-4ポアソン過程
故障率や地震など起こる確率が小さいときに使われます。(件数nが大で確率pが小)
二項分布でnp=λとして極限をとるとポアソン分布になります。
(1)(2)(3)の性質は大事です。

ここで(4)の性質について。
もともと確率は小さいのでほとんどおこりえません。
そのため微小時間で2度おこることは小さいです。
この(4)の性質と(2)(3)の性質からポアソン分布であることが導けます。
これがP33の(4)~P34まで書いてあることです。

P33のラストから2行目は独立増分性と定常増分性を使っています。
ラストから1行目の関数方程式とは
0<g(t)<1 g(0)=0 g(∞)=0という条件を用いると解くことができます。
関数方程式の解き方については
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1412299319
がほとんど同じ問題なのでこちらの解答を。

脱線ですが関数方程式で同じような問題にf(x+y)=f(x)+f(y)という問題があります。
http://nazolab.net/users/qa/35/page:1
http://nazolab.net/users/qa/35/page:2


P34の後半部分は計算過程としてのポアソン分布について
指数分布とポアソン過程の関係性が載っています。
件数がポアソン過程⇔間隔は指数分布
という同値関係が成り立っています。
さらに指数分布の拡張版がガンマ分布で、再生性の性質を持っています。

3-5ブラウン運動
株価などにつかわれます。
ブラック・ショールズモデルのブラウン運動などが有名です。

基本的にはランダムウォークが達する位置の極限を考えたい。
ξ(クサイ)でξ[1],ξ[2]・・・がランダムウォーク(つまり確率1/2で+1,-1)
としてその和を考えれば達する位置が求まります。

さてはじめに√Δtとなっていますがなぜこのようなものを書けているのでしょうか。
これは分散が0でない有限値をとるように設定するためです。
√Δtより大きいまたは小さい場合は分散が0になったり∞になったりします。
分散が0や∞だと株価が完全に予測できたりするためおかしいモデルとなります。
そのため√Δtにしたときに限り分散が0でない有限値をとります。


以下金融工学関係
ブラウン運動をさらに拡張させるとWiener過程となります。離散から連続にしたい。
その後伊藤過程になってブラック・ショールズの式になります。
正確な議論は
http://www43.atwiki.jp/actuary-seminar?cmd=upload&act=open&pageid=13&file=Brown-Wiener.pdf
に任せる。

以下はメモっぽいこと。

一番初めに考えるのはランダムウォーク
ブラウン運動はその和をとった極限を考えています。

数式化すると
ランダムウォークの確率変数をZとする
Z(t[k+1])=Z(t[k])+ε(t[k])√Δt
誤差項εが生じます。

ε(t[k])√Δt
ε(t[k])は期待値0かつ分散1の正規分布

t[k+1]=t[k]+Δt

Z(t[k+1])=Z(t[k])+ε(t[k])√Δt
t[k+1]=t[k]+Δt

ここで差分Z(t[k])-Z(t[j]) (j<k)を考える。 

まず差分の期待値を考えたい。(株価なので)

期待値は0です。なぜなら誤差項εの期待値は0だから。

今の株価から将来の株価を考える。それでは期待値0

よくありがちな設定ですがεは互いに独立であるという設定をつけます。

差分の分散を考えたときはεの和になる

なぜなら
V(Z(t[k])-Z(t[j]))分散

ここでV(分散)とE(期待値)の関係式で右辺の右側
そしてE(X)の独立性つかうと
(k-j)Δt=t[k]-t[j]である。


連続にするとWiener
Δを使っている限り離散。dtにしないと連続にはならない

ランダムウォークを連続時間versionにした場合(微小量)

dz=ε(t)√dt 連続
dzは差分

正規分布の仮定をおくだけでWiner過程(ブラウン運動)となる

以下Wiener過程の性質
1任意のs,tに対してZ(t)-Z(s)が平均
分散t-sの正規確率変数

差が無相関(独立である)ということ

伊藤きよし…金融学で一番有名な日本人

伊藤過程
ウィナー過程を一般的にする
一般化ウィナー

a,bが定数の時は大丈夫

だが彼がしたことは
a(t) b(t)とtの変数としたときについて。これを伊藤過程という

(伊藤の補題)→方程式→ブラック・ショールズの式

それでノーベル賞。
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